289. Решите уравнение: а) (5y³ − 15y² − 2y + 6)/(y² − 9) = 0; б) (3y³ − 12y² − y + 4)/(9y⁴ − 1) = 0; в) (6x³ + 48x² − 2x − 16)/(x² − 64) = 0; г) (y³ − 4y² − 6y + 24)/(y³ − 6y) = 0.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

а) Группируем слагаемые в числителе: \(5y^3-15y^2-2y+6=(y-3)(5y^2-2)\). Знаменатель: \(y^2-9=(y-3)(y+3)\), поэтому \(y\ne 3,-3\). Из \(5y^2-2=0\) получаем \(y=\pm\sqrt{\frac25}\). Значение \(y=3\), найденное из первого множителя, исключается из-за знаменателя.

б) \(3y^3-12y^2-y+4=(y-4)(3y^2-1)\), а \(9y^4-1=(3y^2-1)(3y^2+1)\). Знаменатель равен нулю при \(y=\pm\frac1{\sqrt3}\), поэтому эти корни числителя не подходят. Остаётся \(y=4\).

в) \(6x^3+48x^2-2x-16=2(x+8)(3x^2-1)\), а \(x^2-64=(x-8)(x+8)\). Следовательно, \(x\ne\pm8\). Корень \(x=-8\) исключается; из \(3x^2-1=0\) получаем \(x=\pm\frac1{\sqrt3}\), и оба значения допустимы.

г) \(y^3-4y^2-6y+24=(y-4)(y^2-6)\), а \(y^3-6y=y(y^2-6)\). Знаменатель обращается в ноль при \(y=0,\pm\sqrt6\). Поэтому корни \(y=\pm\sqrt6\) исключаются, и остаётся \(y=4\).

Ответ: а) \(y=\pm\sqrt{\frac25}\); б) \(y=4\); в) \(x=\pm\frac1{\sqrt3}\); г) \(y=4\).