29. На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD вне его построили равносторонние треугольники BCK и AED. Докажите, что отрезок EK делит диагональ AC параллелограмма пополам.

Пусть O — середина диагонали AC. Докажем, что O принадлежит EK.

1. Рассмотрим поворот на 60° с центром A, направленный так, что D переходит в E. Поскольку AED — равносторонний треугольник, этот поворот переводит отрезок AD в AE.
2. В параллелограмме AD = BC, а AD параллельна BC. С учётом того, что равносторонние треугольники построены снаружи, тот же поворот переводит точку C в K: направление и длина векторов AD и BC совпадают, а поворот переводит их в направления AE и BK. Значит, образ отрезка DC — это EK.
3. Поворот переводит середину отрезка AC в середину его образа. Образ отрезка AC — отрезок AK, поэтому образ O — середина AK.
4. Поскольку в параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, середина AC совпадает с серединой BD. При повороте A в E и D в E? Проверим непосредственно: удобнее использовать векторы. Пусть A=0, D=u, B=v, C=u+v. Тогда E — образ D при внешнем повороте на 60° вокруг A, а K — точка, удовлетворяющая BK — внешнему повороту BC на 60°. Так как BC=u и AD=u, получаем вектор BK как поворот вектора u на 60°, тогда E и K расположены симметрично относительно середины AC: их среднее равно (u+v)/2.

Следовательно, середина отрезка EK — это O, то есть отрезки EK и AC имеют общую середину. Значит, EK проходит через середину AC и делит диагональ пополам.

Ответ: EK делит AC пополам.