29. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна a, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.

Обозначим треугольник ABC так, чтобы AB = a, ∠A = α, ∠B = β. Тогда

\(\angle C=\pi-\alpha-\beta\).

По теореме синусов:

\[BC=\frac{a\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)},\qquad AC=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.\]

Длина биссектрисы, проведённой из вершины с углом \(\theta\), вычисляется по формуле \(l=\frac{2xy\cos(\theta/2)}{x+y}\), где x и y — прилежащие стороны.

Биссектриса из вершины A:

\[l_A=\frac{2a\sin\beta\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha+\sin(\alpha+\beta)}.\]

Биссектриса из вершины B:

\[l_B=\frac{2a\sin\alpha\cos\frac{\beta}{2}}{\sin\beta+\sin(\alpha+\beta)}.\]

Биссектриса из вершины C:

\[l_C=\frac{2a\sin\alpha\sin\beta\cos\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}}{\sin\alpha+\sin\beta}.\]

Ответ: \(l_A=\frac{2a\sin\beta\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha+\sin(\alpha+\beta)}\), \(l_B=\frac{2a\sin\alpha\cos\frac{\beta}{2}}{\sin\beta+\sin(\alpha+\beta)}\), \(l_C=\frac{2a\sin\alpha\sin\beta\cos\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}}{\sin\alpha+\sin\beta}\).