29. Найдите, если это возможно, такие целые числа a и b, что: а) (1 − a√3)² = b − 12√3; б) (a + 3√2)² = 13 + b√2; в) (a − 3√5)² = b + 12√5; г) (5 − a√6)² = 49 − b√6.

Раскрываем скобки и приравниваем рациональные части и коэффициенты при одинаковых корнях.

1. а) (1 − a√3)² = 1 − 2a√3 + 3a². Сравнение коэффициентов даёт −2a = −12, поэтому a = 6. Тогда b = 1 + 3a² = 109.
2. б) (a + 3√2)² = a² + 6a√2 + 18. Рациональные части должны совпадать: a² + 18 = 13, откуда a² = −5. Целого числа a, удовлетворяющего этому равенству, нет, поэтому решений нет.
3. в) (a − 3√5)² = a² − 6a√5 + 45. Из −6a = 12 получаем a = −2; тогда b = a² + 45 = 49.
4. г) (5 − a√6)² = 25 − 10a√6 + 6a². Из равенства рациональных частей: 25 + 6a² = 49, значит a² = 4 и a = 2 или a = −2. По коэффициентам при √6: −10a = −b, то есть b = 10a. Получаем пары (a, b) = (2, 20) и (−2, −20).

Ответ: а) a = 6, b = 109; б) решений нет; в) a = −2, b = 49; г) (a, b) = (2, 20) или (−2, −20).