29. Определи вид высказывания. Найди истинные высказывания и докажи их. Для ложных общих высказываний приведи контрпример и построй отрицание. 1) Каждое натуральное число делится на себя и на 1. 2) Некоторые числа имеют только один делитель. 3) Любое натуральное число имеет хотя бы два делителя. 4) Простое число всегда меньше составного. 5) Взаимно простые числа сами являются простыми. 6) Числа 12 и 15 — взаимно простые. 7) Делитель числа всегда меньше самого числа. 8) Кратное числа больше самого числа. 9) Число, кратное 9, может не оканчиваться на 9. 10) Число, кратное 9, может быть представлено в виде 9n, где n ∈ N. 11) Любое простое число можно представить в виде 2n + 1, где n ∈ N. 12) Число, которое можно представить в виде 2n + 1, где n ∈ N, является простым.

Считаем натуральные числа положительными, то есть 1 ∈ N.

1. Истинное. Любое натуральное число делится на 1 и на самого себя.
2. Истинное. Число 1 имеет только один делитель — 1.
3. Ложное. Контрпример: число 1 имеет только один делитель. Отрицание: Существует натуральное число, имеющее менее двух делителей.
4. Ложное. Контрпример: простое число 5 больше составного числа 4. Отрицание: Существует простое число, которое не меньше некоторого составного числа.
5. Ложное. Контрпример: числа 8 и 9 взаимно просты, но оба являются составными. Отрицание: Существуют взаимно простые числа, которые не являются простыми.
6. Ложное. \(\gcd(12,15)=3\), поэтому числа 12 и 15 не являются взаимно простыми. Отрицание: Числа 12 и 15 не являются взаимно простыми.
7. Ложное. Число 1 является делителем числа 1, но не меньше его, а равно ему. Отрицание: Существует делитель числа, который не меньше самого числа.
8. Ложное. Число само является своим кратным: например, \(6=6\cdot1\). Отрицание: Существует кратное числа, которое не больше самого числа.
9. Истинное. Например, \(18\) кратно 9, но оканчивается на 8: \(18=9\cdot2\).
10. Истинное. По определению, число, кратное 9, имеет вид \(9n\), где \(n\in N\).
11. Ложное. Контрпример: число 2 простое, но при \(n\in N\) оно не представляется в виде \(2n+1\), так как выражение \(2n+1\) нечётное. Отрицание: Существует простое число, которое нельзя представить в виде \(2n+1\), где \(n\in N\).
12. Ложное. Контрпример: \(9=2\cdot4+1\), но 9 не является простым числом. Отрицание: Существует число вида \(2n+1\), которое не является простым.

Ответ: истинные высказывания — 1, 2, 9, 10; ложные — 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12.