29. Определите взаимное расположение окружностей ω и γ, если они есть: и найдите координаты точек их пересечения, если они

Для каждой пары окружностей:

1. Вычислите расстояние между центрами окружностей (d).
2. Сравните расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов (R1 + R2 и |R1 - R2|).
3. Определите взаимное расположение: пересекаются, касаются, одна внутри другой, удалены.
4. Решите систему уравнений для нахождения точек пересечения.

а) ω: (x - 7)² + (y + 1)² = 20, γ: (x + 2)² + (y - 2)² = 50

Центры: C1(7, -1), C2(-2, 2). Радиусы: R1 = √20, R2 = √50.

d = √((7 - (-2))² + (-1 - 2)²) = √(9² + (-3)²) = √81 + 9 = √90.

R1 + R2 = √20 + √50 ≈ 4.47 + 7.07 = 11.54.

|R1 - R2| = |√20 - √50| ≈ |4.47 - 7.07| = 2.6.

Так как |R1 - R2| < d < R1 + R2 (2.6 < √90 < 11.54), окружности пересекаются в двух точках.

Решая систему уравнений, получаем точки пересечения: (3, 3) и (11, -5).

б) ω: (x + 5)² + (y - 1)² = 16, γ: (x - 3)² + (y - 5)² = 16

Центры: C1(-5, 1), C2(3, 5). Радиусы: R1 = 4, R2 = 4.

d = √((-5 - 3)² + (1 - 5)²) = √((-8)² + (-4)²) = √64 + 16 = √80.

R1 + R2 = 4 + 4 = 8.

|R1 - R2| = |4 - 4| = 0.

Так как d > R1 + R2 (√80 > 8), окружности не пересекаются и находятся вне друг друга.

в) ω: (x - 4)² + (y + 3)² = 13, γ: (x - 1)² + y² = 13/4

Центры: C1(4, -3), C2(1, 0). Радиусы: R1 = √13, R2 = √(13/4) = √13 / 2.

d = √((4 - 1)² + (-3 - 0)²) = √(3² + (-3)²) = √9 + 9 = √18.

R1 + R2 = √13 + √13 / 2 = (3/2)√13 ≈ 1.5 * 3.6 = 5.4.

|R1 - R2| = |√13 - √13 / 2| = √13 / 2 ≈ 1.8.

Так как |R1 - R2| < d < R1 + R2 (1.8 < √18 < 5.4), окружности пересекаются в двух точках.

Решая систему уравнений, получаем точки пересечения: (4, -1) и (4, -5).