Ответ:

Грамматические основы обозначены жирным шрифтом. В квадратных скобках схем использованы обозначения: подлежащее — одна часть, сказуемое — другая; запятая отмечает границу частей сложного предложения.

  1. Он потянул за шнур, и мотор заурчал. Основа первой части — «он потянул», второй — «мотор заурчал». Союз И связывает части сложного предложения.

    Схема: [— =], и [— =].

  2. Во дворе цвели липы, и лепестки сыпались в приоткрытые окна. Союз И связывает части сложного предложения.

    Схема: [= —], и [— =].

  3. Дома сносили один за другим, и через несколько месяцев цветущий город превратился в груду развалин (Б. Акунин). «Сносили» — сказуемое неопределённо-личной части; во второй части основа — «город превратился». Союз И связывает части сложного предложения.

    Схема: [=], и [— =].

  4. Однако долго предаваться мечтам ему не позволили, и пришлось приниматься за работу. В обеих частях сказуемые выражены неопределённо-личной и безличной формами. Союз И связывает части сложного предложения.

    Схема: [=], и [=].

  5. Он проделал ещё сотню метров и снова остановился. Союз И соединяет однородные сказуемые при общем подлежащем «он»; запятая не ставится.

    Схема: [— = и =].

  6. Солнце припекало, и мы были принуждены вернуться домой. Союз И связывает части сложного предложения.

    Схема: [— =], и [— =].

  7. Скала преградила ему путь, напоминавшая фантастическое животное, и пришлось преодолеть и это препятствие. Запятыми выделен причастный оборот «напоминавшая фантастическое животное», относящийся к слову «скала». Союз И перед «ему пришлось» связывает части сложного предложения; второе «и» имеет значение «даже» и относится к словам «это препятствие».

    Схема: [— =, причастный оборот], и [=].

  8. Он сидел, привалившись спиной к камню, и смотрел в небо. Деепричастный оборот выделен запятыми; союз И соединяет однородные сказуемые при общем подлежащем «он».

    Схема: [— =, деепричастный оборот, и =].

  9. В приёмнике что-то щёлкнуло, и тишина наступила. Союз И связывает части сложного предложения.

    Схема: [— =], и [= —].

Ответ: в предложениях 1, 2, 3, 4, 6, 7 и 9 союз И соединяет части сложного предложения; в предложениях 5 и 8 — однородные сказуемые.