№29. Теплоход проходит за 3 часа по течению и 2 часа против течения 240 км. Этот же теплоход за 3 часа против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 часа по течению. Найдите скорость теплохода против течения и его скорость по течению.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость теплохода против течения (км/ч), а \( v_2 \) — скорость теплохода по течению (км/ч).

Составляем систему уравнений:

1. За 3 часа по течению и 2 часа против течения теплоход прошёл 240 км:

\[ 3v_2 + 2v_1 = 240 \]

2. За 3 часа против течения теплоход прошёл на 35 км больше, чем за 2 часа по течению:

\[ 3v_1 = 2v_2 + 35 \]

Решаем систему уравнений:

Из второго уравнения выразим \( v_1 \):

\[ 3v_1 - 35 = 2v_2 \]

\[ v_2 = \frac{3v_1 - 35}{2} \]

Подставим \( v_2 \) в первое уравнение:

\[ 3\left(\frac{3v_1 - 35}{2}\right) + 2v_1 = 240 \]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[ 3(3v_1 - 35) + 4v_1 = 480 \]

\[ 9v_1 - 105 + 4v_1 = 480 \]

\[ 13v_1 = 480 + 105 \]

\[ 13v_1 = 585 \]

\[ v_1 = \frac{585}{13} = 45 \] км/ч (скорость против течения).

Теперь найдём скорость по течению, подставив \( v_1 = 45 \) во второе уравнение:

\[ 3(45) = 2v_2 + 35 \]

\[ 135 = 2v_2 + 35 \]

\[ 2v_2 = 135 - 35 \]

\[ 2v_2 = 100 \]

\[ v_2 = \frac{100}{2} = 50 \] км/ч (скорость по течению).

Проверка:

По течению: \( 3 \text{ ч} \times 50 \text{ км/ч} = 150 \text{ км} \).

Против течения: \( 2 \text{ ч} \times 45 \text{ км/ч} = 90 \text{ км} \).

Сумма: \( 150 + 90 = 240 \) км.

Разница расстояний: \( 3 \text{ ч} \times 45 \text{ км/ч} = 135 \text{ км} \) (против течения); \( 2 \text{ ч} \times 50 \text{ км/ч} = 100 \text{ км} \) (по течению). \( 135 - 100 = 35 \) км.

Ответ: скорость теплохода против течения 45 км/ч, скорость по течению 50 км/ч.