29. В четырёхугольнике ABCD AO = OC, ∠ABC = ∠ACD. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию AO = OC, значит, точка O — середина диагонали AC.

Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них общая сторона AC, а углы при вершинах B и C равны по условию: \(\angle ABC=\angle ACD\). Из условия пересечения диагоналей и равенства \(AO=OC\) следует, что соответствующие углы при диагонали AC равны, поэтому получаем параллельность противоположных сторон:

\(AB\parallel CD\).

Тогда треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам: \(AO=OC\), вертикальные углы \(\angle AOB=\angle COD\), а также углы, образованные параллельными прямыми AB и CD. Следовательно, \(OB=OD\).

Таким образом, диагонали AC и BD делятся точкой пересечения пополам: \(AO=OC\) и \(BO=OD\). Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: ABCD — параллелограмм.