29. В четырёхугольнике ABCD (рис. 4) AO = OC, ∠BAC = ∠ACD. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1. ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы.
2. ∠BAO = ∠OCD, так как лучи AO и AC, OC и CA лежат на одной прямой, а по условию ∠BAC = ∠ACD.
3. AO = OC по условию.

Следовательно, треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому BO = OD.

Значит, точка O является серединой обеих диагоналей AC и BD. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются и делятся пополам, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.