29. В четырёхугольнике ABCD (рис. 45) BO = OD, ∠ABD = ∠CDB. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Так как ∠ABD = ∠CDB, а BD — секущая, то AB ∥ CD по признаку параллельности прямых.

Рассмотрим треугольники ABO и CDO. По условию BO = OD. Углы ABO и CDO равны, а углы AOB и COD равны как вертикальные.

Следовательно, треугольники ABO и CDO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AO = OC.

Итак, диагонали AC и BD делятся точкой пересечения O пополам: AO = OC и BO = OD. Значит, ABCD — параллелограмм.