29. В трапеции ABCD основание BC равно 12 см. Точка M не лежит в плоскости трапеции, а точка K — середина отрезка BM. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок MC в некоторой точке H, и найдите отрезок KH.

Так как ABCD — трапеция, то основания AD и BC параллельны.

1. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую AD и точку K. Обозначим её пересечение с отрезком MC через H.
2. Введём координаты: пусть плоскость трапеции имеет уравнение z = 0, а основания AD и BC направлены вдоль оси x. Тогда можно записать:
   \(B=(b,h,0)\), \(C=(b+12,h,0)\), \(M=(m,n,p)\), где \(p\ne0\).
3. Поскольку K — середина BM, имеем
   \[K=\left(\frac{b+m}{2},\frac{h+n}{2},\frac p2\right).\]
4. Любая точка плоскости ADK удовлетворяет условию
   \[z(h+n)-yp=0,\]
   поскольку плоскость содержит прямую AD и точку K.
5. Пусть \(H\) делит отрезок MC в отношении, задаваемом параметром \(t\):
   \[H=M+t(C-M).\]
   Тогда координаты точки H по переменным \(y,z\) равны
   \[y=n+t(h-n),\qquad z=p(1-t).\]
6. Подставим их в уравнение плоскости ADK:
   \[p(1-t)(h+n)-p\bigl(n+t(h-n)\bigr)=0.\]
   После упрощения получаем
   \[ph(1-2t)=0.\]
   Так как \(p\ne0\) и \(h\ne0\), то \(t=\frac12\). Следовательно, H — середина отрезка MC.
7. В треугольнике BMC точки K и H являются серединами сторон BM и MC. По теореме о средней линии треугольника
   \[KH\parallel BC,\qquad KH=\frac12BC.\]

Следовательно,

\[KH=\frac12\cdot12=6\text{ см}.\]

Ответ: плоскость ADK пересекает отрезок MC в его середине H; \(KH=6\) см.