29. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА; 2. ААААO; 3. ААААУ; 4. АААOА. Выполните задания: а) определите, сколько всего слов в списке; б) укажите слова, которые стоят на 101-м, 125-м, 170-м и 210-м местах; в) укажите порядковые номера слов ОАООО, УАУАУ, АОУОА, УОАОУ; г) укажите номера первого и последнего слов, которые начинаются с буквы О.

В алфавитном порядке буквам соответствуют цифры: А — 0, О — 1, У — 2. Поэтому каждое слово можно рассматривать как пятизначное число в троичной системе. Номер слова на единицу больше соответствующего числа.

а) Для каждой из пяти позиций есть 3 варианта: всего \(3^5=243\) слова.

б) Переводим номер слова минус 1 в пятизначную троичную запись и заменяем цифры буквами:

• 101-е: \(100_{10}=10200_3\), значит, АОУАА.
• 125-е: \(124_{10}=11121_3\), значит, ОООУО.
• 170-е: \(169_{10}=20021_3\), значит, УААУО.
• 210-е: \(209_{10}=21202_3\), значит, УОУАУ.

в) Чтобы найти номер слова, переводим его цифры из троичной системы в десятичную и прибавляем 1:

• ОАООО: \(10101_3=91\), номер \(91+1=92\).
• УАУАУ: \(20202_3=182\), номер \(182+1=183\).
• АОУОА: \(01210_3=48\), номер \(48+1=49\).
• УОАОУ: \(21012_3=194\), номер \(194+1=195\).

г) Слова, начинающиеся с О, составляют блок после 81 слова, начинающегося с А. В этом блоке \(3^4=81\) слово, поэтому он занимает места с 82-го по 162-е.

Ответ: а) 243 слова; б) 101-е — АОУАА, 125-е — ОООУО, 170-е — УААУО, 210-е — УОУАУ; в) ОАООО — 92, УАУАУ — 183, АОУОА — 49, УОАОУ — 195; г) первое слово на месте 82, последнее — на месте 162.