29, z ABCD – трапеция; AD || BC; AB = CD = 6; AD = 15; BC = 7; AA₁ = 10.

Дано:

• ABCD – трапеция.
• AD || BC
• AB = CD = 6
• AD = 15
• BC = 7
• AA₁ = 10

Необходимо найти:

• Объем данной трапециевидной призмы.

Решение:

1. Площадь основания (трапеции ABCD): \[ S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h \] Для нахождения высоты h проведем высоты BВ₁ и CC₁ из вершин B и C к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABВ₁ (или CDС₁) катеты BB₁ и AB равны: AB = 6, BB₁ = h. Проекция стороны AB на основание AD равна (AD - BC) / 2, т.к. трапеция равнобедренная: \[ \frac{15 - 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] По теореме Пифагора: \[ AB^2 = BB_1^2 + (AH)^2 \] \[ 6^2 = h^2 + 4^2 \] \[ 36 = h^2 + 16 \] \[ h^2 = 36 - 16 = 20 \] \[ h = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Теперь вычислим площадь трапеции: \[ S_{ABCD} = \frac{15 + 7}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \frac{22}{2} \cdot 2\sqrt{5} = 11 \cdot 2\sqrt{5} = 22\sqrt{5} \]
2. Объем призмы: \[ V = S_{ABCD} \cdot AA_1 \] \[ V = 22\sqrt{5} \cdot 10 = 220\sqrt{5} \]

Ответ: Объем призмы равен 220√5.