293. При каких значениях x имеет смысл выражение: а) √((2x + 5)(x − 17)); б) √(x(x + 9)(2x − 8))?

Квадратный корень имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно.

а) Найдём нули множителей: \(2x+5=0\), откуда \(x=-\frac{5}{2}\); и \(x-17=0\), откуда \(x=17\). Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями:

\((2x+5)(x-17)\ge 0\) при \(x\le -\frac{5}{2}\) или \(x\ge 17\).

б) Нули множителей: \(x=-9\), \(x=0\), \(2x-8=0\), то есть \(x=4\). Знак произведения на промежутках чередуется; при больших положительных \(x\) оно положительно. С учётом нулей:

\(x(x+9)(2x-8)\ge 0\) при \(-9\le x\le 0\) или \(x\ge 4\).

Ответ: а) \((-\infty; -\frac{5}{2}]\cup[17; +\infty)\); б) \([-9;0]\cup[4;+\infty)\).