293. Вычислите: 1) \(\log_8 12-\log_8 15+\log_8 20\); 2) \(\log_9 15+\log_9 18-\log_9 10\); 3) \(\frac12\log_7 36-\log_7 14-3\log_7\sqrt[3]{21}\); 4) \(2\log_{\frac13}6-\frac12\log_{\frac13}400+3\log_{\frac13}\sqrt[3]{45}\).

1. Используем свойства логарифмов:

   \[\log_8 12-\log_8 15+\log_8 20=\log_8\frac{12\cdot20}{15}=\log_8 16=\log_8 8^{\frac43}=\frac43.\]

2. \[\log_9 15+\log_9 18-\log_9 10=\log_9\frac{15\cdot18}{10}=\log_9 27=\log_9 9^{\frac32}=\frac32.\]

3. Преобразуем множители перед логарифмами в показатели степеней:

   \[\frac12\log_7 36=\log_7 6,\qquad 3\log_7\sqrt[3]{21}=\log_7 21.\]

   Тогда

   \[\log_7 6-\log_7 14-\log_7 21=\log_7\frac{6}{14\cdot21}=\log_7\frac1{49}=\log_7 7^{-2}=-2.\]

4. \[2\log_{\frac13}6=\log_{\frac13}6^2=\log_{\frac13}36,\]

   \[\frac12\log_{\frac13}400=\log_{\frac13}20,\qquad 3\log_{\frac13}\sqrt[3]{45}=\log_{\frac13}45.\]

   Следовательно,

   \[\log_{\frac13}36-\log_{\frac13}20+\log_{\frac13}45=\log_{\frac13}\frac{36\cdot45}{20}=\log_{\frac13}81.\]

   Так как \(81=3^4=\left(\frac13\right)^{-4}\), получаем \(\log_{\frac13}81=-4\).

Ответ: 1) \(\frac43\); 2) \(\frac32\); 3) \(-2\); 4) \(-4\).