295. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения. Определите, при каких значениях переменных оно достигается: а) A = 2x² − 12x + 23; б) A = −3x² − 12x − 8; в) A = 4x − 6y − x² − y² − 6; г) A = x² + y² + 8x − 4y + 26; д) A = 2x² + y² − 2xy − 6x + 6; е) A = −x² − 2y² − 2xy − 4y − 8.

Выделим полные квадраты. Квадрат с положительным коэффициентом даёт минимум, а с отрицательным — максимум.

1. а) \(A=2(x^2-6x)+23=2(x-3)^2+5\). Так как \((x-3)^2\geq0\), наименьшее значение \(A=5\) достигается при \(x=3\).
2. б) \(A=-3(x^2+4x)-8=-3(x+2)^2+4\). Так как \((x+2)^2\geq0\), наибольшее значение \(A=4\) достигается при \(x=-2\).
3. в) \(A=-(x-2)^2-(y+3)^2+7\). Сумма квадратов неотрицательна, поэтому наибольшее значение \(A=7\) достигается при \(x=2,\ y=-3\).
4. г) \(A=(x+4)^2+(y-2)^2+6\). Сумма квадратов неотрицательна, поэтому наименьшее значение \(A=6\) достигается при \(x=-4,\ y=2\).
5. д) \(A=(x-y)^2+(x-3)^2-3\). Сумма квадратов неотрицательна, поэтому наименьшее значение \(A=-3\) достигается, когда \(x-y=0\) и \(x-3=0\), то есть при \(x=3,\ y=3\).
6. е) \(A=-(x+y)^2-(y+2)^2-4\). Сумма квадратов неотрицательна, поэтому наибольшее значение \(A=-4\) достигается, когда \(x+y=0\) и \(y+2=0\), то есть при \(x=2,\ y=-2\).