295*. В момент начала свободного падения первого тела с некоторой высоты h второе тело стало скользить без трения с наклонной плоскости, имеющей ту же высоту h и длину l = nh. Сравнить конечные скорости тел у основания наклонной плоскости и время их движения.

Пусть оба тела начинают движение без начальной скорости, а \(n=l/h\).

Конечные скорости. Для свободно падающего тела из закона сохранения энергии: \(mgh=mv_1^2/2\), поэтому \(v_1=\sqrt{2gh}\).

Наклонная плоскость без трения также не теряет механическую энергию. Тело опускается на ту же высоту \(h\), следовательно, \(mgh=mv_2^2/2\) и \(v_2=\sqrt{2gh}\). Значит, конечные скорости равны.

Время движения. Для свободного падения \(h=gt_1^2/2\), откуда \(t_1=\sqrt{2h/g}\).

Угол наклона удовлетворяет равенству \(\sin\alpha=h/l=1/n\), поэтому ускорение тела вдоль плоскости \(a=g\sin\alpha=g/n\). Из \(l=at_2^2/2\) получаем:

\(t_2=\sqrt{2l/a}=\sqrt{2nh/(g/n)}=n\sqrt{2h/g}=nt_1\).

Ответ: конечные скорости одинаковы, \(v_1=v_2=\sqrt{2gh}\); по наклонной плоскости тело движется в \(n\) раз дольше, \(t_2=nt_1\).