296. Вычислить: 1) $\dfrac{\log_2 24-\frac12\log_2 72}{\log_3 18-\frac13\log_3 72}$; 2) $\dfrac{\log_7 14-\frac13\log_7 56}{\log_6 30-\frac12\log_6 150}$; 3) $\dfrac{\log_2 4+\log_2\sqrt{10}}{\log_2 20+3\log_2 2}$; 4) $\dfrac{3\log_7 2-\frac12\log_7 64}{4\log_5 2+\frac13\log_5 27}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 296. Вычислить: 1) $\dfrac{\log_2 24-\frac12\log_2 72}{\log_3 18-\frac13\log_3 72}$; 2) \(\dfrac{\log_7 14-\frac13\log_7…$ Фото задания

296. Вычислить: 1) $\dfrac{\log_2 24-\frac12\log_2 72}{\log_3 18-\frac13\log_3 72}$; 2) $\dfrac{\log_7 14-\frac13\log_7 56}{\log_6 30-\frac12\log_6 150}$; 3) $\dfrac{\log_2 4+\log_2\sqrt{10}}{\log_2 20+3\log_2 2}$; 4) $\dfrac{3\log_7 2-\frac12\log_7 64}{4\log_5 2+\frac13\log_5 27}$.

Accepted Answer

Используем разложение аргументов на степени основания:
$\log_2 24-\frac12\log_2 72=\log_2 3+3-\frac12(\log_2 9+3)=\frac32.$
$\log_3 18-\frac13\log_3 72=2+\log_3 2-\frac13(2+3\log_3 2)=\frac43.$
$\dfrac{\frac32}{\frac43}=\frac98.$
Обозначим $a=\log_7 2$. Тогда $\log_7 14=1+a$, а $\log_7 56=1+3a$, поэтому числитель равен $1+a-\frac13(1+3a)=\frac23$.
Обозначим $b=\log_6 5$. Тогда $\log_6 30=1+b$, а $\log_6 150=1+2b$, поэтому знаменатель равен $1+b-\frac12(1+2b)=\frac12$.
$\dfrac{\frac23}{\frac12}=\frac43.$
Обозначим $c=\log_2 5$. Числитель: $\log_2 4+\log_2\sqrt{10}=2+\frac12(1+c)=\frac{5+c}{2}$.
Знаменатель: $\log_2 20+3\log_2 2=2+c+3=5+c$.
$\dfrac{(5+c)/2}{5+c}=\frac12.$
Числитель равен $3\log_7 2-\frac12\log_7(7^6)=3\log_7 2-3\log_7 2=0$. Знаменатель положителен: $4\log_5 2+\frac13\log_5 27=4\log_5 2+\log_5 3>0$. Следовательно, дробь равна $0$.

Ответ: 1) $\frac98$; 2) $\frac43$; 3) $\frac12$; 4) $0$.