297. Решая задачи 219 (1) и 219 (2), вы нашли значения выражений 1 + 2 + 3 + ... + 10 и 1 + 2 + 3 + ... + 100. Заметим, что к тем же результатам можно прийти, найдя значения выражений (11 · 10) : 2 и (101 · 100) : 2 соответственно. Выскажите гипотезу, по какой формуле можно найти значение S выражения 1 + 2 + 3 + ... + n, где n — любое натуральное число, большее 1. Проверьте свою гипотезу для: 1) n = 15; 2) n = 20; 3) n = 30.

Сумму чисел от 1 до \(n\) можно сложить с той же суммой в обратном порядке:

\(S=1+2+\dots+n\),
\(S=n+(n-1)+\dots+1\).

При сложении соответствующих слагаемых каждая пара даёт \(n+1\), а таких пар — \(n\). Поэтому \(2S=n(n+1)\), откуда

\(S=\dfrac{n(n+1)}{2}\).

1. При \(n=15\): \(S=\dfrac{15\cdot16}{2}=120\).
2. При \(n=20\): \(S=\dfrac{20\cdot21}{2}=210\).
3. При \(n=30\): \(S=\dfrac{30\cdot31}{2}=465\).

Ответ: формула суммы — \(S=\dfrac{n(n+1)}{2}\); значения сумм: 120, 210 и 465.