2sin\(2x+\frac{\pi}{6}\)-cosx=\(\sqrt{3}\)sin2x-1, укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\(\frac{5\pi}{2}\); 4\(\pi\)].

Решение:

Данное уравнение:

\[ 2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos x = \sqrt{3}\sin 2x-1 \]

Воспользуемся формулой синуса суммы: \(\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\).

\( 2\left(\sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1 \)

Подставим значения \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\):

\( 2\left(\sin(2x) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos(2x) \cdot \frac{1}{2}\right) - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1 \)

\( \sqrt{3}\sin 2x + \cos(2x) - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1 \)

Сократим \(\sqrt{3}\sin 2x\):

\( \cos(2x) - \cos x = -1 \)

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\).

\( (2\cos^2 x - 1) - \cos x = -1 \)

\( 2\cos^2 x - \cos x = 0 \)

Сделаем замену \( t = \cos x \). Получим квадратное уравнение:

\( 2t^2 - t = 0 \)

\( t(2t - 1) = 0 \)

Следовательно, \( t = 0 \) или \( 2t - 1 = 0 \), откуда \( t = \frac{1}{2} \).

Вернёмся к замене:

\( \cos x = 0 \) или \( \cos x = \frac{1}{2} \).

Решение уравнений:

1. \( \cos x = 0 \)

Общее решение: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

2. \( \cos x = \frac{1}{2} \)

Общее решение: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Найдём корни, принадлежащие отрезку [\(\frac{5\pi}{2}\); \(4\pi\)].

Для \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \):

• При \( k=2 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \) (принадлежит отрезку).


• При \( k=3 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} \) (принадлежит отрезку).


• При \( k=4 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \) (не принадлежит отрезку, т.к. \( \frac{9\pi}{2} > 4\pi \)).

Для \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \):

• При \( n=1 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \) (не принадлежит отрезку, т.к. \( \frac{7\pi}{3} < \frac{5\pi}{2} \)).


• При \( n=2 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} \) (не принадлежит отрезку, т.к. \( \frac{13\pi}{3} > 4\pi \)).

Для \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \):

• При \( n=1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \) (не принадлежит отрезку).


• При \( n=2 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \) (принадлежит отрезку, т.к. \( \frac{5\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{3} < \frac{11\pi}{3} < \frac{12\pi}{3} = 4\pi \)).

Ответ: \( \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}; \frac{11\pi}{3} \).