(2x-3)(x+2)-(x-3)²=15x-10

Решение:

Раскроем скобки и упростим левую часть уравнения:

1. Раскроем первую пару скобок: \( (2x-3)(x+2) = 2x \cdot x + 2x \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot 2 = 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 2x^2 + x - 6 \).
2. Раскроем квадрат разности: \( (x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9 \).
3. Подставим полученные выражения в уравнение: \( (2x^2 + x - 6) - (x^2 - 6x + 9) = 15x - 10 \).
4. Раскроем вторую скобку, меняя знаки: \( 2x^2 + x - 6 - x^2 + 6x - 9 = 15x - 10 \).
5. Приведём подобные слагаемые в левой части: \( (2x^2 - x^2) + (x + 6x) + (-6 - 9) = x^2 + 7x - 15 \).
6. Теперь уравнение выглядит так: \( x^2 + 7x - 15 = 15x - 10 \).
7. Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \): \( x^2 + 7x - 15 - 15x + 10 = 0 \).
8. Приведём подобные слагаемые: \( x^2 + (7x - 15x) + (-15 + 10) = 0 \) \( x^2 - 8x - 5 = 0 \).
9. Определим коэффициенты квадратного уравнения: \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = -5 \).
10. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 64 + 20 = 84 \].
11. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
12. Найдём корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{84}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + \sqrt{4 \cdot 21}}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{21}}{2} = 4 + \sqrt{21} \] \[ x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{84}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - \sqrt{4 \cdot 21}}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{21}}{2} = 4 - \sqrt{21} \]

Ответ: \( x_1 = 4 + \sqrt{21}, x_2 = 4 - \sqrt{21} \).