3.1. Однородный стержень массой m = 2 кг и длиной l = 1 м шарнирно прикреплён к стене в точке A. К правому концу B прикрепили нить, перекинутую через лёгкий гладкий блок, с грузом массой M. Участок нити от стержня до блока перпендикулярен стержню. Стержень составляет угол 60° с горизонтом. При какой массе M стержень находится в равновесии?

Рассмотрим моменты сил относительно шарнира A.

1. Сила натяжения нити равна весу груза: \(T = Mg\).
2. Плечо силы тяжести стержня равно горизонтальной проекции расстояния от A до его центра масс: \(\frac{l}{2}\cos 60^\circ\).
3. Нить перпендикулярна стержню, поэтому плечо силы натяжения равно \(l\).
4. Условие равновесия моментов:
   \[Tl = mg\frac{l}{2}\cos 60^\circ.\]
5. Подставим \(T = Mg\):
   \[Mgl = mg\frac{l}{2}\cdot\frac{1}{2}.\]
6. После сокращения \(gl\):
   \[M = \frac{m}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\text{ кг}.\]

Ответ: \(M = 0.5\text{ кг}\).