№3. 1) Постройте график функции. Укажите область определения и область значений функции: y = −x² + 6x − 5. 2) Найдите по графику: а) точки пересечения графика с осями координат; б) нули функции, промежутки, в которых y > 0 и y < 0; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наименьшее и наибольшее значения функции.

Преобразуем формулу, выделив квадрат двучлена: \(y=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4\). Значит, график — парабола с вершиной \((3;4)\), ветви направлены вниз.

1. Пересечение с осью ординат: при \(x=0\), \(y=-5\), поэтому точка \((0;-5)\). Пересечения с осью абсцисс найдём из уравнения \(-x^2+6x-5=0\): \(x^2-6x+5=0\), откуда \((x-1)(x-5)=0\). Точки пересечения — \((1;0)\) и \((5;0)\).

2. Нули функции: \(x=1\) и \(x=5\). Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция положительна между корнями и отрицательна вне их: \(y>0\) при \(x\in(1;5)\); \(y<0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)\).

3. Вершина имеет абсциссу 3. Функция возрастает на \(( -\infty;3]\) и убывает на \([3;+\infty)\).

4. Наибольшее значение функции равно 4 и достигается при \(x=3\). Наименьшего значения нет, так как функция не ограничена снизу.

Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\). Область значений: \(E(y)=(-\infty;4]\).