№3 1) Постройте график функции. Укажите область определения и область значения функции: y = −x² + 6x − 5. 2) Найдите по графику: а) точки пересечения графика с осями координат; б) нули функции, промежутки, в которых y > 0, y < 0; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наименьшее и наибольшее значения функции.

Приведём функцию к виду с выделенным квадратом: \(y=-(x-3)^2+4\). Значит, график — парабола с ветвями вниз и вершиной \((3;4)\).

График функции:

1. Область определения: \(D(y)=(-∞;+∞)\), поскольку функция задана многочленом.
2. Область значений: \(E(y)=(-∞;4]\), так как наибольшее значение достигается в вершине и равно 4.
3. Пересечение с осью y: при \(x=0\), \(y=-5\), точка \((0;-5)\). Пересечения с осью x найдём из уравнения \(-(x-1)(x-5)=0\): точки \((1;0)\) и \((5;0)\).
4. Нули функции: \(x=1\) и \(x=5\). Функция положительна при \(x∈(1;5)\), отрицательна при \(x∈(-∞;1)∪(5;+∞)\).
5. Функция возрастает на \((−∞;3]\) и убывает на \([3;+∞)\).
6. Наибольшее значение — 4 при \(x=3\). Наименьшего значения нет: при удалении x от вершины вниз по ветвям значения функции неограниченно уменьшаются.