№ 3. 1) Решите уравнение: а) x⁴ − 10x³ + 35x² − 50x + 24 = 0; б) x³ − x² − 8x + 12 = 0. 2) Решите неравенство: (4x² + 4x + 1)/(x² + 2x − 3) ≥ 0.

1а)

Разложим многочлен на множители:

\(x^4-10x^3+35x^2-50x+24=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому \(x=1,2,3,4\).

1б)

Разложим группировкой:

\(x^3-x^2-8x+12=(x-2)(x^2+x-6)=(x-2)^2(x+3)\).

Отсюда \(x=2\) или \(x=-3\).

2)

Разложим числитель и знаменатель:

\(\dfrac{4x^2+4x+1}{x^2+2x-3}=\dfrac{(2x+1)^2}{(x+3)(x-1)}\).

Область допустимых значений: \(x\ne-3\), \(x\ne1\). Числитель неотрицателен и обращается в ноль при \(x=- frac12\). Знаменатель положителен при \(x<-3\) и \(x>1\), отрицателен при \(-3<x<1\). В промежутке, где знаменатель отрицателен, подходит только точка \(x=- frac12\), в которой дробь равна нулю.

Ответ: 1а) \(x\in\{1,2,3,4\}\); 1б) \(x\in\{-3,2\}\); 2) \(x\in(-\infty,-3)\cup\{- frac12\}\cup(1,+\infty)\).