3.149. Решите неравенство: a) -10x² ≤ -9x - 1; г) 4x² + 1 > 4x; и) 3x + 6 < -4x²; б) x² > 4; д) 3x + 2 ≤ 2x²; в) x² ≥ -6x; е) 2x² ≥ 14; 3) x ≥ x²;

Решение:

• а) -10x² ≤ -9x - 1
  Перенесем все члены в левую часть:
  • -10x² + 9x + 1 ≤ 0
  • 10x² - 9x - 1 ≥ 0
  Найдем корни квадратного уравнения 10x² - 9x - 1 = 0:
  D = (-9)² - 4 * 10 * (-1) = 81 + 40 = 121
  √D = 11
  x₁ = (9 - 11) / (2 * 10) = -2 / 20 = -0.1
  x₂ = (9 + 11) / (2 * 10) = 20 / 20 = 1
  Парабола y = 10x² - 9x - 1 направлена ветвями вверх. Неравенство ≥ 0 выполняется при x ≤ -0.1 и x ≥ 1.
• г) 4x² + 1 > 4x
  Перенесем все члены в левую часть:
  4x² - 4x + 1 > 0
  Это полный квадрат: (2x - 1)² > 0.
  Неравенство верно для всех x, кроме x = 0.5, так как квадрат числа всегда неотрицателен.
• и) 3x + 6 < -4x²
  Перенесем все члены в левую часть:
  4x² + 3x + 6 < 0
  Найдем дискриминант квадратного уравнения 4x² + 3x + 6 = 0:
  D = 3² - 4 * 4 * 6 = 9 - 96 = -87
  Так как D < 0 и коэффициент при x² (4) > 0, парабола y = 4x² + 3x + 6 всегда находится выше оси Ox. Следовательно, неравенство 4x² + 3x + 6 < 0 не имеет решений.
• б) x² > 4
  Перенесем все члены в левую часть:
  x² - 4 > 0
  (x - 2)(x + 2) > 0
  Корни уравнения x² - 4 = 0: x = 2 и x = -2.
  Парабола y = x² - 4 направлена ветвями вверх. Неравенство > 0 выполняется при x < -2 или x > 2.
• д) 3x + 2 ≤ 2x²
  Перенесем все члены в левую часть:
  2x² - 3x - 2 ≥ 0
  Найдем корни квадратного уравнения 2x² - 3x - 2 = 0:
  D = (-3)² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25
  √D = 5
  x₁ = (3 - 5) / (2 * 2) = -2 / 4 = -0.5
  x₂ = (3 + 5) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2
  Парабола y = 2x² - 3x - 2 направлена ветвями вверх. Неравенство ≥ 0 выполняется при x ≤ -0.5 или x ≥ 2.
• в) x² ≥ -6x
  Перенесем все члены в левую часть:
  x² + 6x ≥ 0
  x(x + 6) ≥ 0
  Корни уравнения x(x + 6) = 0: x = 0 и x = -6.
  Парабола y = x² + 6x направлена ветвями вверх. Неравенство ≥ 0 выполняется при x ≤ -6 или x ≥ 0.
• е) 2x² ≥ 14
  Разделим обе части на 2:
  x² ≥ 7
  Перенесем все члены в левую часть:
  x² - 7 ≥ 0
  Корни уравнения x² - 7 = 0: x = √7 и x = -√7.
  Парабола y = x² - 7 направлена ветвями вверх. Неравенство ≥ 0 выполняется при x ≤ -√7 или x ≥ √7.
• 3) x ≥ x²
  Перенесем все члены в левую часть:
  x² - x ≤ 0
  x(x - 1) ≤ 0
  Корни уравнения x(x - 1) = 0: x = 0 и x = 1.
  Парабола y = x² - x направлена ветвями вверх. Неравенство ≤ 0 выполняется при 0 ≤ x ≤ 1.

Ответ:

• а) x ∈ (-∞; -0.1] ∪ [1; +∞)
• г) x ∈ (-∞; 0.5) ∪ (0.5; +∞)
• и) Решений нет
• б) x ∈ (-∞; -2) ∪ (2; +∞)
• д) x ∈ (-∞; -0.5] ∪ [2; +∞)
• в) x ∈ (-∞; -6] ∪ [0; +∞)
• е) x ∈ (-∞; -√7] ∪ [√7; +∞)
• 3) x ∈ [0; 1]