3.15. Точки E, F, M и K — середины соответственно рёбер AB, AD, CD и BC тетраэдра DABC. Известно, что EM = FK. Найдите угол между прямыми AC и BD.

Обозначим векторы \(\overrightarrow{AC}=\mathbf{x}\) и \(\overrightarrow{BD}=\mathbf{y}\).

Так как E и M — середины AB и CD, то \(\overrightarrow{EM}=\frac{\mathbf{x}+\mathbf{y}}{2}\). Аналогично, поскольку F и K — середины AD и BC, \(\overrightarrow{FK}=\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{2}\).

По условию \(EM=FK\), поэтому \(|\mathbf{x}+\mathbf{y}|^2=|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2\). Раскрывая квадраты, получаем \(|\mathbf{x}|^2+2\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}+|\mathbf{y}|^2=|\mathbf{x}|^2-2\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}+|\mathbf{y}|^2\), откуда \(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=0\).

Следовательно, прямые AC и BD перпендикулярны.

Ответ: \(90^\circ\).