3.15. Треугольник ABC на рис. 3.3 — равносторонний. Докажите, что треугольник MNK является равносторонним.

По рисунку точки K, M и N лежат соответственно на сторонах AB, BC и AC, причём отмечено, что AK = BM = CN.

Пусть сторона равностороннего треугольника ABC равна a, а AK = BM = CN = x. Тогда BK = CM = AN = a - x.

Рассмотрим треугольники ABM, BCN и CAK. В каждом из них две стороны равны: AB = BC = CA = a, а прилежащие к ним отрезки равны (BM = CN = AK = x). Углы между этими сторонами равны, так как треугольник ABC равносторонний. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны треугольника MNK равны: MN = NK = KM.

Значит, треугольник MNK равносторонний.

Ответ: треугольник MNK является равносторонним.