3.16. Точки E, F, M и K — середины соответственно рёбер AB, AD, CD и BC тетраэдра DABC. AC = 12 см, BD = 16 см, FK = 2√13 см. Найдите угол между прямыми AC и BD.

Обозначим \(\overrightarrow{AC}=\mathbf{x}\), \(\overrightarrow{BD}=\mathbf{y}\). Так как F и K — середины рёбер AD и BC, \(\overrightarrow{FK}=\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{2}\).

Используем длины отрезков и формулу скалярного произведения:

\[4FK^2=|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2=|\mathbf{x}|^2+|\mathbf{y}|^2-2\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}.\]

Подставим данные:

\[4(2\sqrt{13})^2=12^2+16^2-2\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},\]

\[208=400-2\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},\qquad \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=96.\]

Тогда косинус угла между направлениями AC и BD равен \(\frac{96}{12\cdot16}=\frac12\), то есть угол между ними равен \(60^\circ\). Это также меньший угол между прямыми.

Ответ: \(60^\circ\).