3.18. Теңдеулер жүйесін шешіңдер (мұндағы \(a\) — параметр): 1) \(\begin{cases}x+y=3a,\\xy=2a^2;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x+y=4a,\\xy=3a^2;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}x-y=3a,\\xy=4a^2;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}x^2+y^2=5a^2,\\xy=2a^2.\end{cases}\)

1) \(x\) пен \(y\) — қосындысы \(3a\), көбейтіндісі \(2a^2\) болатын квадрат теңдеудің түбірлері. Сондықтан \(t^2-3at+2a^2=0\), яғни \((t-a)(t-2a)=0\). Демек, \((x,y)=(a,2a)\) немесе \((2a,a)\).

2) \(x\) пен \(y\) — \(t^2-4at+3a^2=0\) теңдеуінің түбірлері. \((t-a)(t-3a)=0\), сондықтан \((x,y)=(a,3a)\) немесе \((3a,a)\).

3) \(x-y=3a\), демек \(x=y+3a\). Оны көбейтінді теңдеуіне қоямыз: \(y(y+3a)=4a^2\), сондықтан \(y^2+3ay-4a^2=0\), яғни \((y-a)(y+4a)=0\). Бұдан \(y=a, x=4a\) немесе \(y=-4a, x=-a\).

4) \((x+y)^2=x^2+y^2+2xy=5a^2+4a^2=9a^2\), демек \(x+y=3a\) немесе \(x+y=-3a\). Бірінші жағдайда қосындысы \(3a\), көбейтіндісі \(2a^2\) болатын сандар \(a,2a\); екінші жағдайда — \(-a,-2a\).

Жауап: 1) \((a,2a),(2a,a)\); 2) \((a,3a),(3a,a)\); 3) \((4a,a),(-a,-4a)\); 4) \((a,2a),(2a,a),(-a,-2a),(-2a,-a)\). Қайталанатын жұптар біріктіріледі, мысалы \(a=0\) болғанда.