3) 2 cos(x/2 - pi/6) = sqrt(3)

Решение:

Для решения данного тригонометрического уравнения, сначала выделим косинус:

1. Разделим обе части уравнения на 2: \[ \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
2. Теперь найдём значения аргумента, для которых косинус равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Основной период косинуса — \(2\pi\).
3. Основное решение: \( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
4. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
• Прибавим \(\frac{\pi}{6}\) к обеим частям: \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)
• Умножим обе части на 2: \( x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \)
• Случай 2: \( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
• Прибавим \(\frac{\pi}{6}\) к обеим частям: \( \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = 2\pi k \)
• Умножим обе части на 2: \( x = 4\pi k \)

Таким образом, мы получили два семейства решений.

Ответ: \( x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \) и \( x = 4\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).