3.28) Найти область сходимости функционального ряда.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определяем общий член ряда, a_n. В данном случае, a_n = (-1)^{n+1} \frac{(2n-1)^{2n}(x-1)^n}{(3n-2)^{2n}}.
• Шаг 2: Применяем признак Даламбера. Для этого находим предел отношения абсолютных величин последовательных членов ряда: L = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|.
• Шаг 3: Вычисляем a_{n+1}: a_{n+1} = (-1)^{n+2} \frac{(2(n+1)-1)^{2(n+1)}(x-1)^{n+1}}{(3(n+1)-2)^{2(n+1)}} = (-1)^{n+2} \frac{(2n+1)^{2n+2}(x-1)^{n+1}}{(3n+1)^{2n+2}}.
• Шаг 4: Находим отношение |\frac{a_{n+1}}{a_n}|:
  |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = |\frac{(-1)^{n+2} \frac{(2n+1)^{2n+2}(x-1)^{n+1}}{(3n+1)^{2n+2}}}{(-1)^{n+1} \frac{(2n-1)^{2n}(x-1)^n}{(3n-2)^{2n}}}| = |(-1) \frac{(2n+1)^{2n+2}}{(2n-1)^{2n}} \frac{(x-1)^{n+1}}{(x-1)^n} \frac{(3n-2)^{2n}}{(3n+1)^{2n+2}}|
  = \frac{(2n+1)^{2n+2}}{(2n-1)^{2n}} \frac{|x-1|}{1} \frac{(3n-2)^{2n}}{(3n+1)^{2n+2}} = \frac{(2n+1)^{2n} (2n+1)^2}{(2n-1)^{2n}} \frac{|x-1|}{1} \frac{1}{(3n+1)^2 (3n+1)^{2n}}
  = (\frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(3n+1)^2})^{2n} \frac{(2n+1)^2}{(3n+1)^2} |x-1|
• Шаг 5: Вычисляем предел L.
  L = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n \to \infty} (\frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(3n+1)^2})^{2n} \frac{(2n+1)^2}{(3n+1)^2} |x-1|
  Заметим, что \frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(3n+1)^2} стремится к \frac{4n^2}{6n^3} \approx \frac{1}{n}, что стремится к 0 при n \to \infty.
  Однако, здесь есть ошибка в перегруппировке. Правильный подход:
  L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)^{2n+2}}{(2n-1)^{2n}} \frac{(3n-2)^{2n}}{(3n+1)^{2n+2}} |x-1|
  L = \lim_{n \to \infty} (\frac{2n+1}{2n-1})^{2n} (2n+1)^2 (\frac{3n-2}{3n+1})^{2n+2} |x-1|
  L = \lim_{n \to \infty} (\frac{2n-1+2}{2n-1})^{2n} (2n+1)^2 (\frac{3n+1-3}{3n+1})^{2n+2} |x-1|
  L = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{2n-1})^{2n} (2n+1)^2 (1 - \frac{3}{3n+1})^{2n+2} |x-1|
  Используя \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{k}{n})^{an} = e^{ak}, получаем:
  \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{2n-1})^{2n} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n - 1/2})^{2n} = e^2.
  \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{3}{3n+1})^{2n+2} = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n + 1/3})^{2n+2} = e^{-2}.
  \lim_{n \to \infty} (2n+1)^2 = \infty.
  Это означает, что признак Даламбера не применим напрямую в такой форме, или есть более простой способ. Давайте попробуем упростить выражение внутри степени.
  \frac{a_{n+1}}{a_n} = (-1) \frac{(2n+1)^{2n+2}}{(2n-1)^{2n}} \frac{(3n-2)^{2n}}{(3n+1)^{2n+2}} (x-1)
  = (-1) (2n+1)^2 (x-1) \frac{(2n+1)^{2n}}{(2n-1)^{2n}} \frac{(3n-2)^{2n}}{(3n+1)^{2n+2}}
  = (-1) (2n+1)^2 (x-1) \left( \frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(3n+1)^2} \right)^n \frac{1}{(3n+1)^2}
  = (-1) (2n+1)^2 (x-1) \left( \frac{4n^2 + 4n + 1}{6n^2 + 4n - 1} \right)^n \frac{1}{(3n+1)^2}
  \frac{4n^2 + 4n + 1}{6n^2 + 4n - 1} = \frac{4 + 4/n + 1/n^2}{6 + 4/n - 1/n^2} \to \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
  L = \lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n+1}}{a_n} | = \lim_{n \to \infty} (2n+1)^2 |x-1| \left( \frac{2n+1}{3n+1} \right)^{2n} \left( \frac{3n-2}{3n+1} \right)^{2n} \frac{(2n+1)^2}{(3n+1)^2}
  L = \lim_{n \to \infty} (2n+1)^2 |x-1| \left( \frac{2n+1}{3n+1} \frac{3n-2}{3n+1} \right)^{2n} \frac{(2n+1)^2}{(3n+1)^2}
  \frac{2n+1}{3n+1} \frac{3n-2}{3n+1} = \frac{6n^2 - 4n + 3n - 2}{9n^2 + 6n + 1} = \frac{6n^2 - n - 2}{9n^2 + 6n + 1} \to \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.
  \left(\frac{6n^2 - n - 2}{9n^2 + 6n + 1}\right)^{2n} = \left(\frac{2}{3} \frac{9n^2 + 6n + 1}{6n^2 + 4n - 1}\right)^{2n}
  \lim_{n \to \infty} (\frac{2n+1}{3n+1})^{2n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^{2n} \left(\frac{1 + 1/(2n)}{1 + 1/(3n)}\right)^{2n} = 0 \cdot 1 = 0.
  \lim_{n \to \infty} (\frac{3n-2}{3n+1})^{2n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{3}{3})^{2n} \left(\frac{1 - 2/(3n)}{1 + 1/(3n)}\right)^{2n} = 1^{2n} \cdot 1 = 1.
  L = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n \to \infty} | \frac{(2n+1)^{2n+2}(x-1)^{n+1}}{(3n+1)^{2n+2}} \frac{(3n-2)^{2n}}{(2n-1)^{2n}(x-1)^n} |
  L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)^{2n+2}}{(3n+1)^{2n+2}} \frac{(3n-2)^{2n}}{(2n-1)^{2n}} |x-1|
  L = |x-1| \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n+1}{3n+1} \right)^{2n+2} \left( \frac{3n-2}{2n-1} \right)^{2n}
  \left( \frac{2n+1}{3n+1} \right)^{2n+2} \to 0.
  \left( \frac{3n-2}{2n-1} \right)^{2n} \to \infty.
  Пересмотрим признак Даламбера.
  \lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n+1}}{a_n} | = \lim_{n \to \infty} | \frac{(-1)^{n+2} \frac{(2(n+1)-1)^{2(n+1)}(x-1)^{n+1}}{(3(n+1)-2)^{2(n+1)}}}{(-1)^{n+1} \frac{(2n-1)^{2n}(x-1)^n}{(3n-2)^{2n}}} |
  = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)^{2n+2}}{(3n+1)^{2n+2}} \frac{(3n-2)^{2n}}{(2n-1)^{2n}} |x-1|
  = |x-1| \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n+1}{3n+1} \right)^{2n+2} \left( \frac{3n-2}{2n-1} \right)^{2n}
  \left( \frac{2n+1}{3n+1} \right)^{2n+2} = \left( \frac{2}{3} \frac{1 + 1/(2n)}{1 + 1/(3n)} \right)^{2n+2} \to (2/3)^{\infty} \cdot 1 = 0.
  \left( \frac{3n-2}{2n-1} \right)^{2n} = \left( \frac{3}{2} \frac{1 - 2/(3n)}{1 - 1/(2n)} \right)^{2n} \to (3/2)^{\infty} \cdot 1 = \infty.
  Эта форма признака Даламбера не очень удобна. Используем корень n-ой степени (признак Коши).
  \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|(-1)^{n+1} \frac{(2n-1)^{2n}(x-1)^n}{(3n-2)^{2n}}|} = \frac{(2n-1)^2}{(3n-2)^2} |x-1|
  \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n-1)^2}{(3n-2)^2} |x-1| = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 - 4n + 1}{9n^2 - 12n + 4} |x-1| = \frac{4}{9} |x-1|.
  Для сходимости ряда, по признаку Коши, нужно, чтобы \frac{4}{9} |x-1| < 1.
  |x-1| < \frac{9}{4}.
  -\frac{9}{4} < x-1 < \frac{9}{4}.
  1 - \frac{9}{4} < x < 1 + \frac{9}{4}.
  -\frac{5}{4} < x < \frac{13}{4}.
• Шаг 6: Проверяем сходимость на границах интервала.
  При x = -5/4:
  Ряд становится: \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(2n-1)^{2n}(-5/4-1)^n}{(3n-2)^{2n}} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(2n-1)^{2n}(-9/4)^n}{(3n-2)^{2n}} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(2n-1)^{2n}}{(3n-2)^{2n}} (9/4)^n (-1)^n
  = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{2n+1} \frac{(2n-1)^{2n}}{(3n-2)^{2n}} (9/4)^n = \sum_{n=1}^{\infty} - \frac{((2n-1)^2)^n}{((3n-2)^2)^n} (9/4)^n = - \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(2n-1)^2}{(3n-2)^2} \frac{9}{4} \right)^n
  \frac{(2n-1)^2}{(3n-2)^2} \frac{9}{4} = \frac{4n^2 - 4n + 1}{9n^2 - 12n + 4} \frac{9}{4} \to \frac{4}{9} \frac{9}{4} = 1.
  Используем признак Коши:
  \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(2n-1)^2}{(3n-2)^2} \frac{9}{4} \right| = 1.
  Так как предел равен 1, ряд расходится.
  При x = 13/4:
  Ряд становится: \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(2n-1)^{2n}(13/4-1)^n}{(3n-2)^{2n}} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(2n-1)^{2n}(9/4)^n}{(3n-2)^{2n}}
  = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \left( \frac{(2n-1)^2}{(3n-2)^2} \frac{9}{4} \right)^n
  По тому же рассуждению, что и при x = -5/4, предел отношения равен 1, поэтому ряд расходится.

Ответ: Область сходимости ряда: (-\frac{5}{4}, \frac{13}{4})