3. (3 балла) Решите неравенство: 3) \(\log_{\frac{1}{4}}(5x - 1) = -1; 4) \(\frac{3}{2}\)^{2x-5} \(\le\) \(\frac{81}{16}\)

Решение:

3) \(\log_{\frac{1}{4}}(5x - 1) = -1;

1. По определению логарифма: \( 5x - 1 = (\frac{1}{4})^{-1} \)
2. \( 5x - 1 = 4 \)
3. \( 5x = 4 + 1 \)
4. \( 5x = 5 \)
5. \( x = 1 \)
6. Учтем область определения логарифма: \( 5x - 1 > 0 \), \( 5x > 1 \), \( x > \frac{1}{5} \).
7. Так как \( 1 > \frac{1}{5} \), то \( x = 1 \) является решением.

4) \((\frac{3}{2})^{2x-5} \le \frac{81}{16}

1. Представим \( \frac{81}{16} \) как степень \( \frac{3}{2} \): \( \frac{81}{16} = \frac{3^4}{2^4} = (\frac{3}{2})^4 \)
2. Неравенство примет вид: \( (\frac{3}{2})^{2x-5} \le (\frac{3}{2})^4 \)
3. Так как основание степени \( \frac{3}{2} > 1 \), при переходе от степени к показателю знак неравенства сохраняется: \( 2x - 5 \le 4 \)
4. \( 2x \le 4 + 5 \)
5. \( 2x \le 9 \)
6. \( x \le \frac{9}{2} \)

Ответ: 3) \( x = 1 \); 4) \( x \le \frac{9}{2} \).