3 32. Повторение. Случайные величины и распределения. Центральный кубик подбрасывается 2000 раз. Рассматривается случайная величина Y – частота выпадения пятёрок. Найдите математическое ожидание.

Дано:

• Количество испытаний (подбрасываний кубика): n = 2000
• Случайная величина Y – частота выпадения пятёрок.

Найти:

• Математическое ожидание E(Y).

Решение:

Эта задача описывает схему Бернулли, так как каждое подбрасывание кубика является независимым испытанием с двумя возможными исходами: выпадение пятёрки (успех) или невыпадение пятёрки (неудача).

1. Вероятность успеха (выпадение пятёрки):

При броске стандартного шестигранного кубика существует 6 равновозможных исходов. Вероятность выпадения пятёрки (одного определённого исхода) равна:

• \[ P(\text{пятёрка}) = \frac{1}{6} \]

2. Вероятность неудачи (невыпадение пятёрки):

• \[ P(\text{не пятёрка}) = 1 - P(\text{пятёрка}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]

3. Математическое ожидание числа успехов:

В схеме Бернулли математическое ожидание числа успехов (количество выпадений пятёрок) вычисляется по формуле:

• \[ E(X) = n \times p \]

где n – число испытаний, p – вероятность успеха в одном испытании.

В нашем случае, X – это общее число выпавших пятёрок за 2000 бросков.

• \[ E(X) = 2000 \times \frac{1}{6} = \frac{2000}{6} = \frac{1000}{3} \approx 333.33 \]

4. Математическое ожидание частоты:

Случайная величина Y определена как частота выпадения пятёрок. Частота – это отношение числа успехов к общему числу испытаний:

• \[ Y = \frac{X}{n} \]

Математическое ожидание частоты равно вероятности успеха в одном испытании:

• \[ E(Y) = E\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n} E(X) = \frac{1}{n} (n \times p) = p \]

Таким образом, математическое ожидание частоты выпадения пятёрок равно вероятности выпадения пятёрки в одном броске.

Ответ:

\[ E(Y) = \frac{1}{6} \]