3.39. Не производя вычислений, докажите, что: А) 35 · 20 делится на 14; Б) 63 · 24 делится на 21; В) 34 · 33 кратно 51; Д) 18² делится на 81; Е) 5 · 2⁴ кратно 20; Ж) 2³ · 3² делится на 18; З) 2² · 3 · 5³ делится на 50.

А) Разложим множители на простые множители:

\(35\cdot20=(5\cdot7)\cdot(2\cdot10)=(7\cdot2)\cdot5\cdot10=14\cdot5\cdot10\).

Следовательно, произведение делится на \(14\).

Б) \(63=21\cdot3\), поэтому

\(63\cdot24=(21\cdot3)\cdot24=21\cdot(3\cdot24)\).

Следовательно, произведение делится на \(21\).

В) \(34=2\cdot17\), \(33=3\cdot11\), а \(51=3\cdot17\). Поэтому

\(34\cdot33=(2\cdot17)\cdot(3\cdot11)=51\cdot(2\cdot11)\).

Следовательно, произведение кратно \(51\).

Д) \(18=2\cdot3^2\), значит

\(18^2=(2\cdot3^2)^2=2^2\cdot3^4=3^4\cdot2^2=81\cdot2^2\).

Следовательно, \(18^2\) делится на \(81\).

Е) \(20=5\cdot2^2\), поэтому

\(5\cdot2^4=(5\cdot2^2)\cdot2^2=20\cdot2^2\).

Следовательно, произведение кратно \(20\).

Ж) \(18=2\cdot3^2\), поэтому

\(2^3\cdot3^2=(2\cdot3^2)\cdot2^2=18\cdot2^2\).

Следовательно, произведение делится на \(18\).

З) \(50=2\cdot5^2\), значит

\(2^2\cdot3\cdot5^3=(2\cdot5^2)\cdot(2\cdot3\cdot5)=50\cdot(2\cdot3\cdot5)\).

Следовательно, произведение делится на \(50\).

Ответ: все утверждения доказаны.