3.5. Решите системы: 1) $\begin{cases}x^2+y^2+2xy=9,\\x-y=1;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}x^2+y^2-2xy=16,\\x+y=-2;\end{cases}$ 3) $\begin{cases}x^2+y^2+2xy=4,\\x-y=4;\end{cases}$ 4) $\begin{cases}xy+x+y=11,\\xy(x+y)=30;\end{cases}$ 5) $\begin{cases}x^2-5y^2=-1,\\3xy+7y^2=1;\end{cases}$ 6) $\begin{cases}x^2-y^2=3,\\x^3-y^3=7(x-y).\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 3.5. Решите системы: 1) $\begin{cases}x^2+y^2+2xy=9,\\x-y=1;\end{cases}$ 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

$(x+y)^2=9$, значит $x+y=\pm3$. Вместе с $x-y=1$ получаем $(2,-1)$, $(-1,2)$.
$(x-y)^2=16$, значит $x-y=\pm4$. Вместе с $x+y=-2$ получаем $(1,-3)$, $(-3,1)$.
$(x+y)^2=4$, значит $x+y=\pm2$. Вместе с $x-y=4$ получаем $(3,-1)$, $(1,3)$.
Пусть $s=x+y$, $p=xy$. Тогда $p+s=11$, $ps=30$. Поэтому $s=5,p=6$ или $s=6,p=5$. В первом случае корни уравнения $t^2-5t+6=0$: 2 и 3. Во втором случае корни уравнения $t^2-6t+5=0$: 1 и 5. Ответ: $(2,3)$, $(3,2)$, $(1,5)$, $(5,1)$.
Положим $a=x^2$, $b=y^2$. Из первого уравнения $a=5b-1$, а из второго $xy=\frac{1-7b}{3}$. После возведения в квадрат: $4b^2-5b+1=0$, откуда $b=1$ или $b=\frac14$. Получаем $(2,-1)$, $(-2,1)$, $\left(\frac12,-\frac12\right)$, $\left(-\frac12,\frac12\right)$.
Так как $x\ne y$, из второго уравнения получаем $x^2+xy+y^2=7$. Обозначим $s=x+y$, $d=x-y$. Тогда $sd=3$ и $3s^2+d^2=28$. Отсюда $s^2=9$ или $s^2=\frac13$. Ответ: $(2,1)$, $(-2,-1)$, $\left(\frac{2}{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3}\right)$, $\left(-\frac{2}{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right)$.

Ответ: