3.5. Решите системы: 1) x² + y² + 2xy = 9, x − y = 1; 2) x² + y² − 2xy = 16, x + y = −2; 3) x² + y² + 2xy = 4, x − y = 4; 4) xy + x + y = 11, xy(x + y) = 30; 5) x² − 5y² = −1, 3xy + 7y² = 1; 6) x² − y² = 3, x³ − y³ = 7(x − y).

1) Первое уравнение имеет вид (x + y)² = 9, поэтому x + y = ±3. Вместе с x − y = 1 получаем:

• x + y = 3: (x; y) = (2; 1);
• x + y = −3: (x; y) = (−1; −2).

Ответ: (2; 1), (−1; −2).

2) (x − y)² = 16, значит x − y = ±4. Вместе с x + y = −2:

• x − y = 4: (x; y) = (1; −3);
• x − y = −4: (x; y) = (−3; 1).

Ответ: (1; −3), (−3; 1).

3) (x + y)² = 4, значит x + y = ±2. Вместе с x − y = 4:

• x + y = 2: (x; y) = (3; −1);
• x + y = −2: (x; y) = (1; −3).

Ответ: (3; −1), (1; −3).

4) Обозначим s = x + y, p = xy. Тогда p + s = 11 и ps = 30. Получаем s(11 − s) = 30, то есть s² − 11s + 30 = 0. Поэтому:

• s = 5, p = 6, откуда x и y — корни t² − 5t + 6 = 0: (2; 3), (3; 2);
• s = 6, p = 5, откуда x и y — корни t² − 6t + 5 = 0: (1; 5), (5; 1).

Ответ: (2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1).

5) Из второго уравнения y ≠ 0 и x = (1 − 7y²)/(3y). После подстановки в первое уравнение получаем 4y⁴ − 5y² + 1 = 0. Поэтому y² = 1 или y² = 1/4.

• При y = ±1 получаем (x; y) = (−2; 1), (2; −1);
• при y = ±1/2 получаем (x; y) = (−1/2; 1/2), (1/2; −1/2).

Ответ: (−2; 1), (2; −1), (−1/2; 1/2), (1/2; −1/2).

6) Разложим второе уравнение: (x − y)(x² + xy + y²) = 7(x − y). Из первого уравнения x − y ≠ 0, поэтому x² + xy + y² = 7.

Положим a = x − y, b = x + y. Тогда ab = 3, а 3b² + a² = 28. После подстановки a = 3/b получаем 3b⁴ − 28b² + 9 = 0. Отсюда b² = 9 или b² = 1/3.

При b = ±3 получаем (x; y) = (2; 1), (−2; −1). При b = ±1/√3 получаем (x; y) = (2/√3; −1/√3), (−2/√3; 1/√3).

Ответ: (2; 1), (−2; −1), (2/√3; −1/√3), (−2/√3; 1/√3).