3.5. Решите уравнения: 1) $x^2+y^2+2xy=9,\ x-y=1$; 2) $x^2+y^2-2xy=16,\ x+y=-2$; 3) $x^2+y^2+2xy=4,\ x-y=4$; 4) $xy+x+y=11,\ xy(x+y)=30$; 5) $x^2-5y^2=-1,\ 3xy+7y^2=1$; 6) $x^2-y^2=3,\ x^3-y^3=7(x-y)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3.5. Решите уравнения: 1) $x^2+y^2+2xy=9,\ x-y=1$; 2) $x^2+y^2-2xy=16,\ x+y=-2$; 3) $x^2+y^2+2xy=4,\ x-y=4$; 4)…$ Фото задания

3.5. Решите уравнения: 1) $x^2+y^2+2xy=9,\ x-y=1$; 2) $x^2+y^2-2xy=16,\ x+y=-2$; 3) $x^2+y^2+2xy=4,\ x-y=4$; 4) $xy+x+y=11,\ xy(x+y)=30$; 5) $x^2-5y^2=-1,\ 3xy+7y^2=1$; 6) $x^2-y^2=3,\ x^3-y^3=7(x-y)$.

Accepted Answer

1) $(x+y)^2=9$, поэтому $x+y=\pm3$. Вместе с $x-y=1$ получаем:

$x+y=3\Rightarrow(x,y)=(2,1)$; $x+y=-3\Rightarrow(x,y)=(-1,-2)$.

2) $(x-y)^2=16$, поэтому $x-y=\pm4$. Вместе с $x+y=-2$:

$(x,y)=(1,-3)$ или $(-3,1)$.

3) $(x+y)^2=4$, поэтому $x+y=\pm2$. Вместе с $x-y=4$:

$(x,y)=(3,-1)$ или $(-1,-5)$.

4) Обозначим $s=x+y$, $p=xy$. Тогда $p+s=11$, $ps=30$. Отсюда пары $(s,p)=(5,6)$ или $(6,5)$.

При $(s,p)=(5,6)$: $(x,y)=(2,3),(3,2)$. При $(s,p)=(6,5)$: $(x,y)=(1,5),(5,1)$.

5) Пусть $x=ty$. Делением уравнений получаем:

$\frac{t^2-5}{3t+7}=-1\Rightarrow t^2+3t+2=0$, поэтому $t=-1$ или $t=-2$.

При $t=-1$: $y=\pm1$. При $t=-2$: $y=\pm1$.

Решения: $(-1;1),(1;-1),(-2;1),(2;-1)$.

6) Так как $x\ne y$, из второго уравнения:

$x^2+xy+y^2=7$.

Положим $a=x-y$, $b=x+y$. Тогда $ab=3$, а $a^2+3b^2=28$. Получаем $a^2=1$ или $a^2=27$.

Отсюда решения:

$(2;-1),\ (-2;1),\ (2\sqrt3;-\cdot\sqrt3),\ (-2\sqrt3;\sqrt3)$.

Ответ: 1) $(2;1),(-1;-2)$; 2) $(1;-3),(-3;1)$; 3) $(3;-1),(-1;-5)$; 4) $(2;3),(3;2),(1;5),(5;1)$; 5) $(-1;1),(1;-1),(-2;1),(2;-1)$; 6) $(2;-1),(-2;1),(2\sqrt3;-\sqrt3),(-2\sqrt3;\sqrt3)$.

3.5. Решите уравнения: 1) \(x^2+y^2+2xy=9,\ x-y=1\); 2) \(x^2+y^2-2xy=16,\ x+y=-2\); 3) \(x^2+y^2+2xy=4,\ x-y=4\); 4) \(xy+x+y=11,\ xy(x+y)=30\); 5) \(x^2-5y^2=-1,\ 3xy+7y^2=1\); 6) \(x^2-y^2=3,\ x^3-y^3=7(x-y)\).

Ответ: