3.5. Вычислить интеграл: ∫₁⁴ √x dx

Представим корень в виде степени:

\(\sqrt{x}=x^{1/2}\).

Найдём первообразную:

\[\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.\]

Вычислим определённый интеграл:

\[\int_1^4\sqrt{x}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_1^4=\frac{2}{3}\left(4^{3/2}-1^{3/2}\right).\]

Так как \(4^{3/2}=\left(\sqrt{4}\right)^3=8\), получаем:

\[\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}.\]

Ответ: \(\dfrac{14}{3}\)