3.58 Найдите неизвестный член пропорции: a) 3 1/2 : 2 1/7 = 2 1/3 : t; б) 3 1/3 : s = 4 2/3 : 1 1/6; в) y : 2/3 = 8 1/6 : 2 1/3; г) 5 1/7 : 6/7 = x : 12/17.

Привет! Давай разберёмся с пропорциями. Напомню, что в пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Задание 3.58

а) \( 3 \frac{1}{2} : 2 \frac{1}{7} = 2 \frac{1}{3} : t \)

Сначала переведём смешанные числа в неправильные дроби:

• \( 3 \frac{1}{2} = \frac{3 \times 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} \)
• \( 2 \frac{1}{7} = \frac{2 \times 7 + 1}{7} = \frac{15}{7} \)
• \( 2 \frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)

Теперь запишем пропорцию с неправильными дробями:

• \( \frac{7}{2} : \frac{15}{7} = \frac{7}{3} : t \)

Применим правило пропорции (произведение крайних равно произведению средних):

• \( \frac{7}{2} \times t = \frac{15}{7} \times \frac{7}{3} \)
• \( \frac{7}{2} \times t = \frac{15 \times 7}{7 \times 3} \)
• \( \frac{7}{2} \times t = \frac{105}{21} \)
• \( \frac{7}{2} \times t = 5 \)

Теперь найдём \( t \). Для этого разделим 5 на \( \frac{7}{2} \):

• \( t = 5 : \frac{7}{2} \)
• \( t = 5 \times \frac{2}{7} \)
• \( t = \frac{10}{7} \)
• \( t = 1 \frac{3}{7} \)

б) \( 3 \frac{1}{3} : s = 4 \frac{2}{3} : 1 \frac{1}{6} \)

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

• \( 3 \frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} \)
• \( 4 \frac{2}{3} = \frac{4 \times 3 + 2}{3} = \frac{14}{3} \)
• \( 1 \frac{1}{6} = \frac{1 \times 6 + 1}{6} = \frac{7}{6} \)

Запишем пропорцию:

• \( \frac{10}{3} : s = \frac{14}{3} : \frac{7}{6} \)

Применим правило пропорции:

• \( \frac{10}{3} \times \frac{7}{6} = s \times \frac{14}{3} \)
• \( \frac{10 \times 7}{3 \times 6} = s \times \frac{14}{3} \)
• \( \frac{70}{18} = s \times \frac{14}{3} \)
• \( \frac{35}{9} = s \times \frac{14}{3} \)

Чтобы найти \( s \), разделим \( \frac{35}{9} \) на \( \frac{14}{3} \):

• \( s = \frac{35}{9} : \frac{14}{3} \)
• \( s = \frac{35}{9} \times \frac{3}{14} \)
• \( s = \frac{35 \times 3}{9 \times 14} \)
• \( s = \frac{105}{126} \)

Сократим дробь. Оба числа делятся на 21:

• \( s = \frac{105 \div 21}{126 \div 21} = \frac{5}{6} \)

в) \( y : \frac{2}{3} = 8 \frac{1}{6} : 2 \frac{1}{3} \)

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

• \( 8 \frac{1}{6} = \frac{8 \times 6 + 1}{6} = \frac{49}{6} \)
• \( 2 \frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)

Запишем пропорцию:

• \( y : \frac{2}{3} = \frac{49}{6} : \frac{7}{3} \)

Применим правило пропорции:

• \( y \times \frac{7}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{49}{6} \)
• \( y \times \frac{7}{3} = \frac{2 \times 49}{3 \times 6} \)
• \( y \times \frac{7}{3} = \frac{98}{18} \)
• \( y \times \frac{7}{3} = \frac{49}{9} \)

Чтобы найти \( y \), разделим \( \frac{49}{9} \) на \( \frac{7}{3} \):

• \( y = \frac{49}{9} : \frac{7}{3} \)
• \( y = \frac{49}{9} \times \frac{3}{7} \)
• \( y = \frac{49 \times 3}{9 \times 7} \)
• \( y = \frac{147}{63} \)

Сократим дробь. Оба числа делятся на 21:

• \( y = \frac{147 \div 21}{63 \div 21} = \frac{7}{3} \)
• \( y = 2 \frac{1}{3} \)

г) \( 5 \frac{1}{7} : \frac{6}{7} = x : \frac{12}{17} \)

Переведём смешанное число в неправильную дробь:

• \( 5 \frac{1}{7} = \frac{5 \times 7 + 1}{7} = \frac{36}{7} \)

Запишем пропорцию:

• \( \frac{36}{7} : \frac{6}{7} = x : \frac{12}{17} \)

Применим правило пропорции:

• \( \frac{36}{7} \times \frac{12}{17} = \frac{6}{7} \times x \)
• \( \frac{36 \times 12}{7 \times 17} = \frac{6}{7} \times x \)
• \( \frac{432}{119} = \frac{6}{7} \times x \)

Чтобы найти \( x \), разделим \( \frac{432}{119} \) на \( \frac{6}{7} \):

• \( x = \frac{432}{119} : \frac{6}{7} \)
• \( x = \frac{432}{119} \times \frac{7}{6} \)
• \( x = \frac{432 \times 7}{119 \times 6} \)

Обрати внимание, что \( 119 = 17 \times 7 \). Сократим 7:

• \( x = \frac{432}{17 \times 7} \times \frac{7}{6} \)
• \( x = \frac{432}{17 \times 6} \)

Теперь сократим 432 и 6. \( 432 \div 6 = 72 \):

• \( x = \frac{72}{17} \)
• \( x = 4 \frac{4}{17} \)

Ответ:

• а) \( t = 1 \frac{3}{7} \)
• б) \( s = \frac{5}{6} \)
• в) \( y = 2 \frac{1}{3} \)
• г) \( x = 4 \frac{4}{17} \)