3.6.10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 15, tg A = 1/3. Найдите AH.

Так как угол C прямой, AB — гипотенуза, а CH — высота к гипотенузе.

1. По определению тангенса: \(\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{3}\), поэтому можно принять \(BC=x\) и \(AC=3x\).
2. По теореме Пифагора: \(x^2+(3x)^2=15^2\), откуда \(10x^2=225\) и \(AC=3x=\dfrac{45}{\sqrt{10}}=\dfrac{9\sqrt{10}}{2}\).
3. Для высоты к гипотенузе справедливо \(AC^2=AB\cdot AH\). Следовательно, \(AH=\dfrac{AC^2}{AB}=\dfrac{(9\sqrt{10}/2)^2}{15}=\dfrac{27}{2}\).

Ответ: \(AH=13.5\).