3.7. Берілген сызықтармен шектелген фигураның ауданын табыңдар. 1) y = −x³, x = −3, y = 0; 2) y = −2x³, x = −2, y = 0; 3) y = 1 − x³, x = 0, y = 0; 4) y = 1 − x², y = 0; 5) y = −x² + 2x + 3, y = 0, x = 0, x = 2; 6) y = −x² − 2x + 2, y = 0, x = −1, x = 0; 7) y = 16/x², y = 2x, x = 4; 8) y = −3/x³, y = −3x, x = −[сандық дерек қиылып қалған].

1. Шектелген аралық: \([-3,0]\). Мұнда \(-x^3\ge 0\):

   \(S=\int_{-3}^{0}-x^3\,dx=\left.-\frac{x^4}{4}\right|_{-3}^{0}=\frac{81}{4}.\)

2. Шектелген аралық: \([-2,0]\). Мұнда \(-2x^3\ge 0\):

   \(S=\int_{-2}^{0}-2x^3\,dx=\left.-\frac{x^4}{2}\right|_{-2}^{0}=8.\)

3. \(1-x^3=0\) теңдеуінен қиылысу нүктесі \(x=1\). Сондықтан:

   \(S=\int_{0}^{1}(1-x^3)\,dx=\left.x-\frac{x^4}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{3}{4}.\)

4. \(1-x^2=0\) теңдеуінің түбірлері \(x=-1\) және \(x=1\):

   \(S=\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx=\left.x-\frac{x^3}{3}\right|_{-1}^{1}=\frac{4}{3}.\)

5. Парабола берілген аралықта \(Ox\) осінен жоғары орналасқан:

   \(S=\int_{0}^{2}(-x^2+2x+3)\,dx=\left.-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right|_{0}^{2}=\frac{22}{3}.\)

6. Функция \([-1,0]\) аралығында оң:

   \(S=\int_{-1}^{0}(-x^2-2x+2)\,dx=\left.-\frac{x^3}{3}-x^2+2x\right|_{-1}^{0}=\frac{8}{3}.\)

7. Қисықтардың қиылысуын табамыз: \(\frac{16}{x^2}=2x\), бұдан \(x=2\). \([2,4]\) аралығында \(2x\) графигі жоғары орналасқан:

   \(S=\int_{2}^{4}\left(2x-\frac{16}{x^2}\right)dx=\left.x^2+\frac{16}{x}\right|_{2}^{4}=8.\)

8. Сегізінші тармақтағы тік түзудің мәні суретте қиылып қалған: \(x=-\ldots\). Осы сансыз шектелген фигураның ауданын анықтау мүмкін емес. Есептеу үшін 8-тармақтың толық көрінетін бөлігін жіберіңіз.

Жауап: 1) \(\frac{81}{4}\); 2) 8; 3) \(\frac{3}{4}\); 4) \(\frac{4}{3}\); 5) \(\frac{22}{3}\); 6) \(\frac{8}{3}\); 7) 8.