3.7 На плоскости взяли пять точек. Через все пары этих точек провели прямые. Сколько всего могло получиться прямых? Разберите все случаи.

Для пяти точек всего есть \(\binom{5}{2}=10\) пар. Каждая пара задаёт прямую, но если на одной прямой лежат несколько точек, все пары этих точек задают одну и ту же прямую.

Разберём возможные случаи:

1. Никакие три точки не лежат на одной прямой: получается 10 прямых.
2. Три точки лежат на одной прямой, а остальные пары не дают совпадающих прямых: получается \(10-\binom{3}{2}+1=8\) прямых.
3. Три точки лежат на одной прямой, а среди оставшихся точек есть ещё две, задающие вторую прямую с тремя точками? Для пяти точек это возможно, если две тройки имеют одну общую точку. Тогда две прямые заменяют по три пары каждая: получается \(10-2-2=6\) прямых.
4. Четыре точки лежат на одной прямой, пятая — вне неё: одна прямая задаётся шестью парами точек на ней, а ещё четыре прямые соединяют пятую точку с каждой из остальных. Всего 5.
5. Все пять точек лежат на одной прямой: получается 1 прямая.

В случае с одной тройкой на прямой число прямых равно 8: три пары этой тройки дают одну прямую, а остальные семь пар — семь различных прямых.

Ответ: 1, 5, 6, 8 или 10 прямых.