3.8. \(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\), если \(xe^{\frac{x+y}{z}} - xyz + z^2 - 2 = 0\).

Решение:

Для решения используем неявное дифференцирование. Данное уравнение задает z как неявную функцию от x и y: \( F(x, y, z) = xe^{\frac{x+y}{z}} - xyz + z^2 - 2 = 0 \).

Найдём \( \frac{\partial z}{\partial x} \):

1. Продифференцируем обе части уравнения по x, считая z функцией от x (то есть \( \frac{\partial z}{\partial x} \) присутствует в производной).
2. Производная \( xe^{\frac{x+y}{z}} \) по x: \( 1 \cdot e^{\frac{x+y}{z}} + x \cdot e^{\frac{x+y}{z}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x+y}{z} \right) \)
3. \( \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x+y}{z} \right) = \frac{1 \cdot z - (x+y) \cdot \frac{\partial z}{\partial x}}{z^2} = \frac{z - (x+y) \frac{\partial z}{\partial x}}{z^2} \)
4. Производная \( -xyz \) по x: \( -y \cdot z - y \cdot x \cdot \frac{\partial z}{\partial x} \)
5. Производная \( z^2 \) по x: \( 2z \frac{\partial z}{\partial x} \)
6. Производная \( -2 \) по x: \( 0 \)
7. Собираем всё вместе:

\[ e^{\frac{x+y}{z}} + xe^{\frac{x+y}{z}} \cdot \frac{z - (x+y) \frac{\partial z}{\partial x}}{z^2} - yz - xy \frac{\partial z}{\partial x} + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \]

Выделим члены с \( \frac{\partial z}{\partial x} \):

\[ e^{\frac{x+y}{z}} + \frac{x}{z^2}e^{\frac{x+y}{z}}z - \frac{x(x+y)}{z^2}e^{\frac{x+y}{z}} \frac{\partial z}{\partial x} - yz - xy \frac{\partial z}{\partial x} + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \]

Перенесём члены без \( \frac{\partial z}{\partial x} \) в правую часть:

\[ - \frac{x(x+y)}{z^2}e^{\frac{x+y}{z}} \frac{\partial z}{\partial x} - xy \frac{\partial z}{\partial x} + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = yz - e^{\frac{x+y}{z}} - \frac{x}{z}e^{\frac{x+y}{z}} \]

Вынесем \( \frac{\partial z}{\partial x} \) за скобки:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} \left( - \frac{x(x+y)}{z^2}e^{\frac{x+y}{z}} - xy + 2z \right) = yz - e^{\frac{x+y}{z}} - \frac{x}{z}e^{\frac{x+y}{z}} \]

Отсюда:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz - e^{\frac{x+y}{z}} - \frac{x}{z}e^{\frac{x+y}{z}}}{- \frac{x(x+y)}{z^2}e^{\frac{x+y}{z}} - xy + 2z} \]

Умножим числитель и знаменатель на \( z^2 \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz^2 - z^2e^{\frac{x+y}{z}} - xze^{\frac{x+y}{z}}}{-x(x+y)e^{\frac{x+y}{z}} - xyz^2 + 2z^3} \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz^2 - z^2e^{\frac{x+y}{z}} - xze^{\frac{x+y}{z}}}{-x^2e^{\frac{x+y}{z}} - xye^{\frac{x+y}{z}} - xyz^2 + 2z^3} \]

Найдём \( \frac{\partial z}{\partial y} \):

Аналогично, продифференцируем обе части уравнения по y, считая z функцией от y:

1. Производная \( xe^{\frac{x+y}{z}} \) по y: \( x \cdot e^{\frac{x+y}{z}} \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x+y}{z} \right) \)
2. \( \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x+y}{z} \right) = \frac{1 \cdot z - (x+y) \cdot \frac{\partial z}{\partial y}}{z^2} = \frac{z - (x+y) \frac{\partial z}{\partial y}}{z^2} \)
3. Производная \( -xyz \) по y: \( -xz - xy \frac{\partial z}{\partial y} \)
4. Производная \( z^2 \) по y: \( 2z \frac{\partial z}{\partial y} \)
5. Производная \( -2 \) по y: \( 0 \)
6. Собираем всё вместе:

\[ xe^{\frac{x+y}{z}} \cdot \frac{z - (x+y) \frac{\partial z}{\partial y}}{z^2} - xz - xy \frac{\partial z}{\partial y} + 2z \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \]

Выделим члены с \( \frac{\partial z}{\partial y} \):

\[ - \frac{x(x+y)}{z^2}e^{\frac{x+y}{z}} \frac{\partial z}{\partial y} - xy \frac{\partial z}{\partial y} + 2z \frac{\partial z}{\partial y} = xz - xe^{\frac{x+y}{z}} \]

Вынесем \( \frac{\partial z}{\partial y} \) за скобки:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} \left( - \frac{x(x+y)}{z^2}e^{\frac{x+y}{z}} - xy + 2z \right) = xz - xe^{\frac{x+y}{z}} \]

Отсюда:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz - xe^{\frac{x+y}{z}}}{- \frac{x(x+y)}{z^2}e^{\frac{x+y}{z}} - xy + 2z} \]

Умножим числитель и знаменатель на \( z^2 \):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz^2 - xz^2e^{\frac{x+y}{z}}}{-x(x+y)e^{\frac{x+y}{z}} - xyz^2 + 2z^3} \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz^2 - xz^2e^{\frac{x+y}{z}}}{-x^2e^{\frac{x+y}{z}} - xye^{\frac{x+y}{z}} - xyz^2 + 2z^3} \]

Ответ: \( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz^2 - z^2e^{\frac{x+y}{z}} - xze^{\frac{x+y}{z}}}{-x^2e^{\frac{x+y}{z}} - xye^{\frac{x+y}{z}} - xyz^2 + 2z^3} \), \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz^2 - xz^2e^{\frac{x+y}{z}}}{-x^2e^{\frac{x+y}{z}} - xye^{\frac{x+y}{z}} - xyz^2 + 2z^3} \).