3 94. Преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем. Найдите значение выражения: $$\frac{3^{-3} \cdot 9^{-4}}{81^{-3}}$$

Пошаговое решение:

• Запишем выражение:
  $$ \frac{3^{-3} \cdot 9^{-4}}{81^{-3}} $$
• Приведем основания к числу 3:
  $$9 = 3^2$$
  $$81 = 3^4$$
• Подставим в выражение:
  $$ \frac{3^{-3} \cdot (3^2)^{-4}}{(3^4)^{-3}} $$
• Применим свойство степени $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$:
  $$ \frac{3^{-3} \cdot 3^{2 \cdot (-4)}}{3^{4 \cdot (-3)}} = \frac{3^{-3} \cdot 3^{-8}}{3^{-12}} $$
• Применим свойство степени $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ в числителе:
  $$ \frac{3^{-3 + (-8)}}{3^{-12}} = \frac{3^{-11}}{3^{-12}} $$
• Применим свойство степени $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$:
  $$ 3^{-11 - (-12)} = 3^{-11 + 12} = 3^1 $$
• Вычислим значение:
  $$3^1 = 3$$

Ответ: 3