3 94. Преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем Вычислите: 2⁻³ + (1/2)⁻³ = ?

Решение:

Для вычисления выражения \( 2^{-3} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \) воспользуемся свойствами степеней с отрицательным показателем: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) и \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \).

1. Вычислим первое слагаемое: \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \).
2. Вычислим второе слагаемое: \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{1}\right)^{3} = 2^3 = 8 \).
3. Сложим полученные значения: \( \frac{1}{8} + 8 \).
4. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{1}{8} + \frac{8 \cdot 8}{8} = \frac{1}{8} + \frac{64}{8} = \frac{1 + 64}{8} = \frac{65}{8} \).
5. Можно представить в виде смешанной дроби: \( \frac{65}{8} = 8 \frac{1}{8} \).

Ответ: \( \frac{65}{8} \) или \( 8 \frac{1}{8} \).