3 а) Проведи прямые AB и CD, если A (1; 4), B (9; 10), C (3; 9), D (10; 2). Найди координаты их точки пересечения M. M ( : )

Решение:

1. Находим уравнение прямой AB:
   1. Вычисляем угловой коэффициент (k):
   \[ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - 4}{9 - 1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]
   2. Используем уравнение прямой y - y₁ = k(x - x₁):
   \[ y - 4 = \frac{3}{4}(x - 1) \]
   \[ 4(y - 4) = 3(x - 1) \]
   \[ 4y - 16 = 3x - 3 \]
   \[ 3x - 4y + 13 = 0 \]
2. Находим уравнение прямой CD:
   1. Вычисляем угловой коэффициент (k):
   \[ k_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 9}{10 - 3} = \frac{-7}{7} = -1 \]
   2. Используем уравнение прямой y - y₁ = k(x - x₁):
   \[ y - 9 = -1(x - 3) \]
   \[ y - 9 = -x + 3 \]
   \[ x + y - 12 = 0 \]
3. Находим точку пересечения M, решая систему уравнений:
   \[ \begin{cases} 3x - 4y + 13 = 0 \\ x + y - 12 = 0 \end{cases} \]
   Из второго уравнения выразим y: \[ y = 12 - x \]
   Подставим в первое уравнение:
   \[ 3x - 4(12 - x) + 13 = 0 \]
   \[ 3x - 48 + 4x + 13 = 0 \]
   \[ 7x - 35 = 0 \]
   \[ 7x = 35 \]
   \[ x = 5 \]
   Теперь найдем y:
   \[ y = 12 - x = 12 - 5 = 7 \]

Ответ: M (5; 7)