3. а) Решите уравнение $$6\log_8^2 x - 5\log_8 x + 1 = 0$$.

Решение:

1. Пусть \( y = \log_8 x \). Тогда уравнение примет вид: \( 6y^2 - 5y + 1 = 0 \).
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \):
• Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \).
• Найдём корни: \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
3. Вернёмся к замене:
• 1) \( \log_8 x = \frac{1}{2} \)
• Из определения логарифма: \( x = 8^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
• 2) \( \log_8 x = \frac{1}{3} \)
• Из определения логарифма: \( x = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2 \).

Ответ: \( x=2 \) и \( x=2\sqrt{2} \).