3. а) Решите уравнение $6\sin^2 x+15\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-12=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. а) Решите уравнение $6\sin^2 x+15\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-12=0$.$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулу сдвига: $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x$. Тогда

$6\sin^2x-15\cos x-12=0$.

Подставим $\sin^2x=1-\cos^2x$:

$6(1-\cos^2x)-15\cos x-12=0$,

$6\cos^2x+15\cos x+6=0$,

$2\cos^2x+5\cos x+2=0$,

$(2\cos x+1)(\cos x+2)=0$.

Из условия $|\cos x|\leq1$, поэтому $\cos x=-2$ невозможно. Остаётся $\cos x=-\frac12$.

Следовательно, $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$ или $x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k$, где $k\in\mathbb Z$.

Ответ: $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$.

3. а) Решите уравнение \(6\sin^2 x+15\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-12=0\).